В Android версий 7 и выше компания Google убрала библиотеку openssl.

Тем не менее, некоторые части Qt, например те, которые отечают за сеть и протокол HTTPS, требуют наличия в системе библиотеки openssl.

Чтобы обойти эту проблему, энтузиастами был сделан проект android-openssl-qt.

Это скрипт, который генерирует файлы библиотек. Кроме того, данный проект можно подключить как под-проект (*.pri) в текущий проект, и тогда библиотечные файлы будут автоматически включаться в сборку. По сути, вопрос в создании и подключении файлов libssl.so и libcrypto.so.

На странице проекта:

https://github.com/ekke/android-openssl-qt

расписано, как можно подключить данную библиотеку, или просто сгенерировать so-файлы.

* * *

Кроме того, существует официальная страница документации Qt, на которой расписаны шаги, как подключить openssl в Android:

http://doc.qt.io/qt-5/opensslsupport.html

Там все более солжно, но, видимо должно работать.