Здесь есть такой интересный нюанс.

climb без предлога означает забираться/лазить по чему-то. То есть процесс, в каком-то роде занятие (как у альпинистов или у животных на деревьях). Можно сказать climb a mountain, climb a tree. Climb a roof означает забираться по крыше. То есть после climb непосредественно следует поверхность — будь то гора, дерево, крыша, стена и так далее.

climb on(to) a roof означает забраться на крышу, а не забираться по крыше. То есть определённое действие с определённой целью. Здесь крыша — это не поверхность, по которой взбираются. Взбираются по лестнице, например. Вы можете в теории сказать She climbed a ladder on the roof, хотя немного корявенко.

P.S. Артикли — это слова a и the, которые обозначают, грубо говоря, определённость и неопределённость. On — это предлог.