Введение

Представьте, что вы подбрасываете обычную монетку. Каков шанс, что выпадет «орел»? Интуиция сразу подсказывает: 50 на 50, или 1 к 2. Здесь все просто: у нас есть всего два варианта развития событий (орел или решка), и один из них нам нужен.

В этом и кроется главный секрет теории вероятностей. Чтобы узнать шансы на успех, мы используем простую логику: делим количество нужных нам исходов на общее количество всех возможных вариантов.

Но что делать, если вариантов не два, как с монеткой, а тысячи или миллионы?

Допустим, вы забыли пин-код от чемодана. Там всего 4 колесика с цифрами. Какова вероятность угадать код с первой попытки? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, сколько всего комбинаций существует. Перебирать их вручную — долго и мучительно.

Именно здесь на сцену выходит комбинаторика.

Это раздел математики, который учит нас отвечать на вопрос «Сколько способов существует?», не пересчитывая предметы пальцем. Комбинаторика — это фундамент для решения задач по теории вероятностей. Без неё мы просто не сможем посчитать то самое «общее количество вариантов».

В этой статье мы разберем основные инструменты комбинаторики.

2. Логические основы: Складывать или умножать?

Прежде чем переходить к сложным формулам с восклицательными знаками, нам нужно освоить два главных инструмента. Это фундамент всей комбинаторики.

В большинстве задач вы будете стоять перед выбором: поставить знак «плюс» или знак «умножить»? Чтобы не гадать, запомните простое правило, основанное на союзах «ИЛИ» и «И».

Правило суммы (Логическое «ИЛИ»)

Это правило работает, когда нам нужно выбрать только один предмет из нескольких разных групп.

Представьте, что вы пришли в кофейню. На витрине лежат 3 вида круассанов и 4 вида пончиков. Вы хотите купить только одну вкусняшку к кофе. Либо круассан, ИЛИ пончик.

Сколько у вас вариантов выбора?

Здравый смысл подсказывает: вы можете взять любой из трех круассанов или любой из четырех пончиков.

3 + 4 = 7 вариантов.

Вывод: Если вы выбираете один объект из первой группы ИЛИ один объект из второй (и эти группы не пересекаются), варианты складываются.

Правило произведения (Логическое «И»)

Это правило вступает в игру, когда нам нужно составить пару (или набор) из нескольких предметов. Мы выбираем и то, И другое.

Допустим, вы собираетесь на прогулку. У вас есть 2 пары джинсов (синие и черные) и 3 футболки (белая, серая, красная). Вы не можете пойти только в футболке или только в джинсах, вам нужен полный комплект: джинсы И футболка.

Сколько разных образов можно составить?

Давайте рассуждать.

• Если вы наденете синие джинсы, к ним можно подобрать любую из 3 футболок (уже 3 образа).
• Если вы наденете черные джинсы, к ним тоже можно подобрать любую из 3 футболок (еще 3 образа).

Итого: 2 * 3 = 6 вариантов.

Вывод: Если нужно сделать два последовательных выбора (выбрать А, а затем выбрать Б), количество вариантов перемножается.

Как не запутаться?

Когда читаете задачу, задайте себе вопрос:

1. Мне нужно выбрать что-то одно (или это, или то)? → Складываем (+)
2. Мне нужно выбрать и то, и другое (составить комбинацию)? → Умножаем (×)

Почти вся сложная комбинаторика построена на правиле произведения.

3. Инструментарий: Что такое факториал?

В текстах восклицательный знак означает громкий крик или удивление. В математике этот знак (!) тоже обозначает нечто внушительное — очень быстрый рост чисел.

Знакомьтесь: Факториал.

Что это такое?

Факториал числа n (записывается как n!) — это инструкция: «Умножь это число на все предыдущие целые числа, пока не дойдешь до единицы».

Это просто компактный способ записи длинных примеров на умножение.

• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Зачем это нужно? Комбинаторика работает с огромным количеством вариантов. Если мы захотим посчитать, сколькими способами можно переставить колоду из 36 карт, число будет настолько гигантским, что его трудно даже записать. А с помощью факториала это выглядит коротко и элегантно: 36!.

Как считать дроби с факториалами

В формулах теории вероятностей вам постоянно придется делить один факториал на другой. Новички часто совершают ошибку: они пытаются вычислить гигантские числа в числителе и знаменателе, а потом делить их. Калькулятор от таких задач обычно «сходит с ума».

Делать это «в лоб» не нужно. Факториалы идеально сокращаются.

Пример: Нужно вычислить:

.

1. Вспомним, что 8! — это произведение от 1 до 8.
2. А 6! — это произведение от 1 до 6.
3. Заметим, что внутри 8! уже «спрятан» 6!:



4. Запишем дробь:



5. Мы просто зачеркиваем (сокращаем) одинаковые 6! сверху и снизу. Остается только: 8 × 7 = 56

Никаких миллионных вычислений! Просто убираем «хвост» меньшего факториала.

Важное исключение: Ноль факториал

Вам может попасться выражение 0!. Интуиция подсказывает, что результат должен быть нулем, но в комбинаторике всё иначе.

Запомните правило:

0! = 1.

Почему так?

С математической точки зрения это договоренность, чтобы формулы работали корректно. С логической точки зрения: «Сколькими способами можно переставить ноль предметов?» Ответ: одним способом — ничего не делать (оставить пустоту как есть).

Теперь, когда у нас есть инструмент, перейдем к самим формулам.

4. Три кита комбинаторики

А. Перестановки ( P, т. е. Permutation ) — «Тасуем всё, что есть»

Это самая простая ситуация. У нас есть n предметов, и нам нужно задействовать их все, просто поменяв местами.

• Суть: Места ограничены, предметов ровно столько же, сколько мест. Кто где сидит?
• Вопрос: Сколькими способами можно расставить n объектов в ряд?
• Формула: Pn = n!

Пример из жизни: У вас на полке 3 разные книги (А, Б, В). Вы хотите расставить их красиво. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь участвуют все книги, и нам важен только их порядок.

P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 способов.

(Проверка: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА).

Б. Размещения ( A, т. е. Allocation ) — «Выбираем лучших с пьедесталом»

Здесь ситуация усложняется. У нас есть большая куча предметов (n), но выбрать нам нужно только несколько (k). При этом порядок выбора имеет значение.

• Суть: Важно не только то, кого мы выбрали, но и на какое место поставили. Быть первым — не то же самое, что быть вторым.
• Вопрос: Выбираем k счастливчиков из n кандидатов и раздаем им пронумерованные места.
• Формула:

Пример из жизни:

В финальном забеге участвуют 10 спортсменов (n=10). Медалей всего три: золото, серебро и бронза (k=3).

Нам важно не просто, кто войдет в тройку, а кто какую именно медаль получит. Набор {Иванов, Петров, Сидоров} — это совсем не то же самое, что {Сидоров, Иванов, Петров}, ведь медали у них будут разные.

Считаем:

(Логика простая: на 1 место претендуют 10 человек, на 2-е — уже 9, на 3-е — 8. Итого 10×9×8).

В. Сочетания ( C, т. е. Combinations ) — «Набор в корзину»

Это самая популярная формула в теории вероятностей.

Здесь мы тоже выбираем небольшую группу (k) из большой кучи (n), но нам абсолютно безразличен порядок. Мы просто сгребаем предметы в кучу.

• Суть: Мы формируем команду, набор, руку в картах. Неважно, кого мы выбрали первым, а кого последним — результат (состав группы) один и тот же.
• Вопрос: Сколькими способами можно выбрать k предметов из n?
• Формула:

Пример из жизни:

В классе 25 учеников (n=25). Учителю нужно отправить двоих дежурить в столовую (k=2).

Важно ли, скажет учитель «Иванов и Петров» или «Петров и Иванов»? Нет. Они оба пойдут чистить картошку. Порядок не важен, важен только состав пары.

Если бы мы считали это как Размещение (где порядок важен), мы бы посчитали эту пару дважды. Чтобы убрать дубликаты, мы делим формулу на факториал количества выбранных людей (k!).

Считаем количество пар дежурных:

Краткий итог раздела (Шпаргалка):

1. Берем ВСЕ предметы и меняем местами? → Перестановки ( Pn ).
2. Выбираем ЧАСТЬ и порядок ВАЖЕН (призовые места, должности)? → Размещения ( ).
3. Выбираем ЧАСТЬ и порядок НЕ ВАЖЕН (горсть шаров, карты в руку)? → Сочетания ().

5. Блок-схема: Как выбрать правильную формулу?

Самая большая проблема новичков — не вычисление факториалов, а выбор формулы. Как понять, когда использовать A, а когда C?

Чтобы не гадать, используйте этот простой алгоритм. Ответьте всего на два вопроса, и вы придете к правильному решению.

Шаг 1. Сколько элементов мы берем?

Посмотрите на условия задачи. У нас есть n объектов. Мы используем их все или выбираем только часть?

• Если берем ВСЕ (n из n):

→ Это Перестановки ( Pn = n! ).

Тест: Мы просто меняем их местами? Да.

Примеры: Расставить книги на полке, составить список выступающих, пересадить гостей за столом.

(Конец алгоритма).




• Если берем ЧАСТЬ (k из n):

→ Переходите к Шагу 2.

Шаг 2. Важен ли порядок? (Главная развилка)

Мы выбрали группу объектов. Теперь поменяйте два выбранных объекта местами. Изменился ли смысл или результат?

• ДА, порядок ВАЖЕН:

→ Это Размещения ().

Признаки: У каждого выбранного есть своя роль, номер или статус.

Тест: "Иванов — директор, Петров — зам" ≠ "Петров — директор, Иванов — зам".

Примеры: Код от сейфа, распределение медалей, выбор президента и вице-президента, составление слов из букв.




• НЕТ, порядок НЕ ВАЖЕН:

→ Это Сочетания ().

Признаки: Объекты равноправны, они просто попадают в одну кучу/группу.

Тест: "В команду попали Иванов и Петров" - "В команду попали Петров и Иванов".

Примеры: Раздача карт (неважно, в каком порядке пришли тузы, главное, что они у вас), выбор 3-х деталей для проверки, покупка 5 разных фруктов.

Визуальная шпаргалка (Текстовая версия)

СТАРТ: ЕСТЬ n ОБЪЕКТОВ

|

Сколько элементов используем?

/ \

/ \

ВСЕ (n штук) ЧАСТЬ (k штук)

| |

v v

ПЕРЕСТАНОВКИ (P) Важен ли порядок?

(Формула: n!) / \

/ \

ДА НЕТ

| |

v v

РАЗМЕЩЕНИЯ (A) СОЧЕТАНИЯ (C)

(Роли, места) (Куча, набор)

Совет: В 90% задач по теории вероятностей (особенно про урны с шарами или колоды карт) вы будете попадать в ветку «Часть» → «Порядок не важен». Поэтому, если сомневаетесь, проверьте сначала формулу Сочетаний (C).

6. Практика: Связь с Теорией Вероятностей

Мы подошли к главному. Как вся эта математика помогает предсказывать будущее?

Вспомним классическую формулу вероятности:

Где:

• n (Знаменатель) — Все возможные варианты, которые могут случиться.
• m (Числитель) — Только те варианты, которые нам нужны («благоприятные»).

В простых задачах эти числа очевидны. В сложных — их рассчитывают с помощью формул комбинаторики. Чаще всего здесь правит бал формула Сочетаний (), так как в лотереях, картах и вытягивании шаров порядок обычно не важен.

Давайте разберем самую популярную задачу из учебников («Задача об урне»), на которой сыпется половина студентов, хотя она решается в три действия.

Задача «Коробка с шарами»

Дано: В коробке лежат 9 шаров: 5 белых и 4 черных. Мы не глядя запускаем руку и вытаскиваем 3 шара.

Вопрос: Какова вероятность того, что среди них окажутся ровно 2 белых и 1 черный?

Решение по шагам

Шаг 1. Ищем (Все возможные варианты)

Сначала забудем про цвета. Нам нужно просто узнать, сколькими способами можно вытянуть любые 3 шара из 9 имеющихся.

Порядок не важен (мы достаем их горстью). Значит, используем Сочетания.

Вывод: Всего существует 84 разных тройки шаров, которые можно достать из этой коробки. Это наш знаменатель.

Шаг 2. Ищем (Благоприятные варианты)

Теперь нам нужно собрать конкретный набор: «2 белых И 1 черный». Здесь вступает в силу Правило произведения (раздел 2), потому что нам нужны шары обоих цветов одновременно. Мы разбиваем задачу на две части:

1. Выбираем белые: Нам нужно 2 штуки. Всего белых в коробке 5.









2. Выбираем черные: Нам нужна 1 штука. Всего черных в коробке 4.

Теперь объединяем их. Так как нам нужны белые И черные, мы перемножаем результаты:

m = 10 × 4 = 40

Вывод: Существует 40 комбинаций, которые удовлетворяют нашему условию. Это наш числитель.

Шаг 3. Считаем вероятность

Осталось только поделить:

Сократим дробь на 4:

Ответ: Вероятность вытянуть такой набор составляет примерно 47,6%.

Почему это круто?

Без комбинаторики нам пришлось бы вручную расписывать все 84 варианта на бумаге и отмечать галочками нужные. С формулами мы решили задачу за 2 минуты.

Этот же принцип работает в покере (вероятность собрать Флеш-рояль), в контроле качества (вероятность найти бракованную деталь в партии) и в лотереях.

1. Считаем общее число вариантов через C.
2. Считаем нужные варианты через C и перемножаем их.
3. Делим одно на другое.

Уверен, у вас все получится. Вперед, к практике.