По умолчанию tmux запускает оболочку входа, а когда bash вызывается в качестве оболочки входа, он подгружает ~/.bash_profile, ~/.bash_login и ~/.profile. Таким образом, для загрузки ~/.bashrc нужно поместить строчку source ~/.bashrc в один из этих файлов.

Другой способ сделать это -- поместить в ~/.tmux.conf строчку:

set-option -g default-shell "/bin/bash"

Также, может оказаться, что после проделанных манипуляций в tmux всё равно отсутствует подсветка, которая есть в терминале без tmux. Чтобы вернуть её добавьте/раскомментируйте в ~/.bashrc строчку:

force_color_prompt=yes