Знак (символ, сокращение)

Пояснения (расшифровка, легенда)

• следовательно,
• таким образом,
• поэтому

т.о.

• следовательно,
• таким образом,
• поэтому

• потому что
• из-за того что
• вследствие того, что
• поскольку
• в результате того, что

ЧТД QED

Конец доказательства = "Что и требовалось доказать" = quod erat demonstrandum

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

=

Равенство

• приблизительно равно (везде)

• изоморфно (теория групп)

По определению равно

По определению равно

По определению равно

По определению равно

По определению равно

• По определению равно
• Равенство по модулю

Записывается ab (mod n), читается a равно b по модулю n.

По определению логически эквивалентно

• эквивалентность матриц (т.е. одна сводится к другой с помощью элементарных операций над строками)

• Случайная величина имеет распределение вероятности ...

• числа одного порядка

• эквивалентность функций при определенной базе, т.е. одинаковое ассимптотическое поведение

• отношение эквивалентности , используется, когда 2 элемента принадлежат одному и тому же классу эквивалентности

• Конгруэнтность в геометрии

• Изморфизм

Неравенство

<

Меньше

>

Больше

Много меньше

Много больше

<=

Меньше или равно

>=

Больше или равно

Сведение по Карпу (Karp reduction) - теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое "не сложнее правого", естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

• пропорциональность - основной символ

• !иногда! сведение по Карпу (Karp reduction) - теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое "не сложнее правого", естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

+

• Плюс

• Несвязное объединение = несвязная сумма = дизъюнктное объединение - теория множеств

-

• Минус

• Противоположный

• Отрицательный

• !иногда!Разность множеств - теория множеств

• Умножить

• Векторное произведение векторов

• Прямое (декартово) произведение множеств

• Группа единиц или группа обратимых элементов - теория колец: группа Rx - это обратимые элементы кольца R с той же опрецией умножения, что и на R. Так же обозначается как R* или U(R).

.

• Умножить

• Скалярное произведение векторов в пространстве

• Производная по времени (записывается над аргументом)

Разделить

/

• Разделить

• Факторгруппа

Если G -группа, а H- ее нормальная подгруппа, то G/H - факторгруппа G по H, т.е. группа классов смежности H в G

• Фактормножество

Если X - множество с заданным на нем отношением эквивалентности , то X/ - фактормножество, т.е. множество классов эквивалентности относительно

• Плюс-минус

• с точностью

Минус плюс - имеет смысл только при употреблении вместе со знаком плюс минус cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y).

• Корень квадратный действительный

• Корень квадратный мнимый

• Модуль

• Длина вектора (Евклидова норма)

• Определитель матрицы

• мощность множества (если оно бесконечно), количество элементов множества (порядок) (если оно конечно)

• Норма в нормированном векторном пространстве

• длина

• функция нахождения ближайшего целого числа (округления) (Другие варианты обозначения: [x], nint(x) или Round(x))

• делитель, делит нацело

• не является делителем, не делит нацело

|

• условная вероятность - в теории вероятностей

P(A|B) - вероятность события А, при условии, что событие B уже произошло

• ограничение функции на множестве, т.е. сужение области определения функции.

Если функция f определена на R, то f|N определена только на N и принимает на N те же значения, что и f

• таких что......., так что..............

A={x | |x|<1} читается: "А - множество x таких, что модуль x меньше 1" и значит, что множество А - множество элементов числовой прямой, лежащих между -1 и 1.

||

• параллельность

a||b - параллельные прямые a и b

• несравнимость (несравнимо) - в теории порядка

Если X - множество с отношением частичного порядка ≤, а a и b - его элементы, то a||b - a и b несравнимы, если про них невозможно сказать ни a≤b, ни b≤a

• точный делитель (при разложении числа в произведение степеней простых чисел - простое число в максимальной степени, делящее исходное)

#

• мощность или кардинальное число в теории множеств

• связная сумма в топологии

• Примориал или праймориал

n#  - произведение простых чисел, не превышающих n

Алеф - кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного вполне упорядоченного множества

Бет - кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного множества

мощность континуума - теория множеств

:

• так что, такой что- вездеaR bR : a<b - это читается как " для любого рационального числа a существует рациональное число b такое что a меньше b"

• расширение поля - теория поля

E:K значит, что E - это расширение поля K

• скалярное произведение матриц в некотором предгильбертовом пространстве, элементами которого являются матрицы.

!

• факториал

n!=1*2*3.....*(n-1)*n читается n-факториал

• логическое отрицание

!A=1, если А=0, !А=0, если А=1, читается не А.

сплетение групп в теории групп (Также обозначается как АwrВ)

• инвариантная (нормальная) подгруппа

• Идеал кольца( теория колец )

Антисоединение отношений (Antijoin) - операция реляционной алгебры, которая оставляет только те кортежи первого отношения, для которых не найдется кортежей второго отношения, совпадающих с ними по общему атрибуту.

или

• Полупрямое произведение групп

• Полусоединение отношений (Semijoin)- операция реляционной алгебры, оставляющая только те кортежи первого отношения, для которых найдутся кортежи второго отношения, совпадающие с ними по общему атрибуту.

Естественное соединение отношений (Natural Join)- операция реляционной алгебры, результатом которой является набор всех возможных комбинаций кортежей исходных отношений, то есть комбинаций тех кортежей, у которых совпадают общие атрибуты

• Импликация (материальная), в логике
• Следовательно (в доказательствах)

• Импликация (материальная), в логике
• Стрелка, обозначающая откуда и куда действует отображение (функция) f. Запись f : X Y означает, что отображение f переводит элементы множества X в элементы множества Y. Или, можно сказать, что X - область определения f, а область значений f - есть некоторое подмножество множества Y.
• "Стремится" - в теории пределов

• импликация (материальная), в логике

• надмножество строгое (теория множеств) само понятие надмножества в русской традиции не вводится.

Материальная эквивалентность, равносильность= "тогда и только тогда"

Материальная эквивалентность, равносильность= "тогда и только тогда"

Логическое отрицание = не

Логическое отрицание = не

• Логическая конъюнкция (AND, И)

• Пересечение в теории графов

• V произведение - внешнее произведение - линейная алгебра

• Знак возведения в степень в строчной записи

• Логическая дизъюнкция (OR, ИЛИ)

• Или, ( в смысле "ИЛИ")

• Смыкание, сшивание в теории графов

• исключающее ИЛИ , симметрическая разность (логика, Булева алгебра, теория множеств)

• прямая сумма (абстрактая алгебра)

исключающее ИЛИ (только в логике)

обозначение понятия - любой, читается как - "для любого", "для всех", "для каждого"

обозначение понятия - существует, читается как "найдется", "существует", "существуют"...

обозначение понятия - существует единственный, читается как "найдется ровно один ", "существует один и только один ", "существует единственный "...

{ , }

внутри скобок записываются элементы множества

{ : }

значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы "икс", такие что "для всех икс верно....".

{ | }

значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы "икс", такие что "для всех икс верно....".

Ø

значок пустого множества

значок пустого множества

{}

значок пустого множества

значок принадлежности к множеству - читается "принадлежит..."

значок не принадлежности к множеству - читается "не принадлежит..."

Знак подмножества. А B означает - все элементы A являются элементами B. Часто путают со знаком ниже.

Знак собственного (строгого = истинного ) подмножества. А B означает - все элементы A являются элементами B, но A не равно B. Часто путают со знаком выше.

Знак надмножества. А B означает - все элементы B являются элементами A. В РФ очень часто вообще не используется (пользуются значком подмножества и переставляют буквы)

Знак строгого = истинного надмножества. А B означает - все элементы B являются элементами A, но B не равно A. В РФ очень часто вообще не используется (пользуются значком подмножества и переставляют буквы), кроме того этот знак путают со знаком выше.

В теории множеств-объединение множеств. С= А B означает, что элементы С - это элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В.

В теории множеств - пересечение множеств. С= А B означает, что элементы множества С - это элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В.

В теории множеств - симметрическая разность множеств. С= А B значит, что элементами множества С являются элементы, принадлежащие только множеству А или только множеству В.

\

В теории множеств - разность множеств (или относительное дополнение одного множества до другого). С= А \ B читается С - разность множеств А и В (или С - относительное дополнение множества В до множества А) и значит, что элементами С являются все элементы А, которые не принадлежат В.

Стрелка, определяющая отображение (функцию) f. Запись f: a b означает, что отображение(функция) f переводит элемент а в элемент b. Наример, f: x x2 означает, что f(x)=x2

• Композиция функций. Запись z=g f означает, что z(x)=g(f(x)).

• Произведение Адамара двух матриц одинакового размера

-  матрица того же размера, элементы которой равны произведению соответствующих элементов перемножаемых матриц

Множество натуральных чисел. В зависимости от контекста и области применения этого обозначения за обозначают либо множество {1, 2, 3, 4, ...}, либо множество {0, 1, 2, 3, 4...}.

Множество целых чисел. ={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Также можно написать ={p, -p| p∈} U {0}.

+ >

Множество положительных целых чисел. Т.е. множество {1, 2, 3, ...}

≥

Множество неотрицательных целых чисел. Т.е. множество {0, 1, 2, ...}

Z/(n)Z Z/(n)

Кольцо вычетов по модулю n. ={0, 1, 2,..., n-1} с операциями сложения и умножения по модулю n. Стоит понимать, что вместо n может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Множество p-адических чисел вида , где m≥0; ak - целые числа, а p - простое число. Стоит понимать, что вместо p может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Проективное пространство. В частности, n- это n-мерное проективное пространство.

P(X) Pr(X) P[X] Pr[X]

В теории вероятности - вероятность. (X) - вероятность того, что произойдет событие X.

Множество рациональных чисел. ={m/n | m∈, n∈}

Множество действительных чисел

Множество комплексных чисел. ={a+bi | a,b∈ }, где i - мнимая единица.

Множество кватернионов (кватернионов Гамильтона). ={a+b i +c j +d k | a,b,c,d∈ }, где { i, j, k } - стандартный базис трехмерного пространства. Другими словами, a - это рациональное число, а b i +c j +d k - это вектор трехмерного пространства с координатами {b, c, d}.

O

O-большое в исследовании ассимптотического поведения функций. Описывает ассимптотическое поведение функции, когда ее аргумент стремится к числу или к бесконечности. Запись f(x)=O(g(x)) при xa означает, что lim f(x)/g(x)=K при xa. Где К - константа.

Бесконечность. Элемент расширенной числовой прямой, который больше любого числа. Чаще всего употребляется, когда речь идет о пределах.

Огругление числа до целого в меньшую сторону. x - это наибольшее целое число, меньшее или равное х. Например, 3.4=3, -2, 3= -3.

Огругление числа до целого в большую сторону. x-это наименьшее целое число, большее или равное х. Например, 3.4=4, -2.3=-2.

Огругление числа до ближайшего целого к нему. Например, 3.4=3, -4.6=-5, 3.5=4.

[ : ]

• В теории полей - степень расширения поля. [E:K] - это степень расширения поля E:K, где E - это расширение поля K.

[E:K] - это по определению размерность векторного пространства E над K. Например, [ : ]=2.

• Индекс подгруппы Если H - подгруппа группы G, то [G:H] - индекс подгруппы H, т.е. число смежных классов по подгруппе H (или мощность множества смежных классов)

[ ]

• Класс эквивалентности. [a] - это множество элементов, эквивалентных a. Более точная запись - [a]R означает класс эквивалентности, порожденный элементом a относительно отношения эквивалентности R.
• Огругление числа до целого в меньшую сторону. [x] - это наибольшее целое число, меньшее или равное х.
• Огругление числа до ближайшего целого к нему.

• Нотация Айверсона, или скобка Айверсона. Сопоставляет некоторому утверждению 1 или 0, в зависимости от того, истинно или ложно данное утверждение. Т.о., если S - некоторое утверждение, то [S]=0, если S - ложно, и [S]=1, если S - истинно.

Например, [2=3]=0; [4<5]=1.

• Если f - функция, а X - некоторое подмножество ее области определения, то f[X] - образ множества X.

Иными словами, f[X]={f(x) | x∈X}

[ , ]

• Отрезок. [a,b]={x∈ | a≤x≤b}
• В алгебре - коммутатор.

[g, h] = g-1h-1gh, если g, h∈G, где G - группа. [a,b]=ab-ba, если a, b∈R, где R - кольцо. [A, B]=AB-BA, если A и B - операторы.

• Векторное произведение векторов.

[ , , ]

Смешанное произведение векторов.

( )

• Образ элемента

f(x) - образ x при применении f.

• Если f - функция, а X - некоторое подмножество ее области определения, то f(X) - образ множества X.

Иными словами, f(X)={f(x) | x∈X}

• Количество сочетаний. Например:

- число сочетаний из r элементов, выбранных из n элементов

• Скобки, указывающие порядок выполнения операций. Операция в скобках выполняется в первую очередь.

(( ))

Количество мультимножеств. Например:

-число различных мультимножеств мощности k, состоящих из элементов, выбранных из множества мощности n

( , )

• Наибольший общий делитель.

(a, b)=НОД(a, b) - наибольший общий делитель чисел a и b.

• Кортеж - упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор.

• Интервал

(a,b)={x∈ | a<x<b}

• Скалярное произведение векторов

] , [

Интервал (a,b)={x∈ | a<x<b}

( , ]

Полуинтервал (открытый слева) (a,b)={x∈ | a<x≤b}

] , ]

Полуинтервал (открытый слева) (a,b)={x∈ | a<x≤b}

[ , )

Полуинтервал (открытый справа) (a,b)={x∈ | a≤x<b}

[ , [

Полуинтервал (открытый справа) (a,b)={x∈ | a≤x<b}

< >

• Среднее значение, усреднение

<S> - среднее значение элементов множества S.

• В линейной алгебре - линейная оболочка подмножества линейного пространства - пересечение всех подпространств, содержащих данное подмножество.

Если S - подмножество линейного пространства L, <S> - линейная оболочка множества S, т.е. прересечение всех подпространств линейного пространства L, содержащих в себе множество S.

• В теории групп - группа, порожденная некоторым подмножеством элементов группы- минимальная подгруппа данной группы, содержащая в себе данное подмножество.

Если S - некоторое подмножество элементов группы G, то <S> - подгруппа G, порожденная S, т.е. минимальная подгруппа G, содержащая S.

< , >

• Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)
• В линейной алгебре - линейная оболочка элементов линейного пространства- пересечение всех подпространств данного линейного пространства, содержащих данные элементы.

Если a1, a2...,an - векторы линейного пространства L, то <a1, a2...,an> - линейная оболочка векоторов a1, a2...,an т.е. пересечение всех подпространств пространства L, содержащих в себе векторы a1, a2...,an.

• В теории групп - группа, порожденная данными элементами группы - минимальная подгруппа данной группы, содержащая в себе эти элементы.

Если a1, a2...,an- некоторые элементы группы G, то <a1, a2...,an> - подгруппа G, порожденная элементами a1, a2...,an, т.е. минимальная подгруппа G, содержащая в себе элементы a1, a2...,an.

• Кортеж - упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор.

< | >

Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)

( | )

Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)

| >

В обозначениях Дирака - кет-вектор. |φ> - вектор φ некоторого гильбертого пространства

< |

В обозначениях Дирака - бра-вектор из пространства, сопряженного некоторому гильбертовому пространству. <φ| - бра вектор, соответствующий кет-вектору |φ> (говорят, даже, совпадающий с кет-фектором |φ>), задающий линейный функционал, ставящий в соответствие каждому кет-вектору |ψ> скалярное произведение <φ|ψ>.

число сочетаний из r элементов, выбранных из n элементов

Сумма, ряд.

• Произведение

• В теории множеств - прямое (декартово) произведение множеств

В теории категорий - копроизведение (категорная сумма)

Производная. f'(x) - значение производной функции f в точке x (Тангенс угла наклона касательно к функции f в точке x).

• Неопределенный интеграл (первообразная)

• Определенный интеграл.

• Криволинейный интеграл по незамкнутой кривой (первого или второго рода).

Интеграл по контуру (по поверхности - знак интеграла удваивается, по объему-знак интеграла утраивается).

• Градиентf(x1,...,xn)- вектор частных производных (f 'x1,..,f 'xn)

• Дивергенция

Если вектор =vx i +vy j +vz k , где vx, vy, vz - функции от трех переменных x, y, z, а i, j, k - стандартный базис в пространстве, то

• Ротор

Если вектор =vx i +vy j +vz k ,

где vx, vy, vz - функции от трех переменных x, y, z, а i, j, k - стандартный базис в пространстве, то

• Частная производная

• В топологии - граница множества

Если M - некоторое множество, то - граница множества M (другими словами, множество всех граничных точек множества M)

• Степень многочлена

Если f - многочлен, то - степень многочлена f. Чаще встречается обозначение deg f.

• Приращение , дельта, x - приращение (изменение) x

• Лапласиан

Оператор Лапласа ставит функции от n переменных в соответствие ее дифференциал второго порядка.

• Определитель матрицы (А), где А - матрица

• Дельта-функция

• Символ Кронекера, индикатор равенства переменных

• В реляционной алгебре - проекция

Операция, которая из заданного отношения (таблицы) выбирает подмножество, которое получается выбором нескольких из имеющихся атрибутов и (если потребуется) вычеркиванием повторяющихся кортежей. Результатом перации a,b,..,k(R) является таблица (отношение), полученная из таблицы R вычеркиванием атрибутов, не равных a,b,...k, и затем вычеркиванием одинаковых строчек (кортежей), если такие появились. Например: Если в изначальной таблице ЛЮДИ атрибутами являются рост, вес, пол, то результатом операции рост(ЛЮДИ) будет таблица ЛЮДИ с одним атрибутом - рост, и если в ней окажутся одигнаковые строки, они будут вычеркнуты.

• Число Пи

Математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. 3,14159265.

В реляционной алгебре - выборка Операция aθb(v)(R), где a и b - атрибуты (или a-атрибут, а v -константа), а θ - бинарная операция из множества {<, ≤, =, ≥, >} выбирает из отношения R те кортежи, для атрибутов которых выполнено соотношение aθb (aθv).

В теории порядка - покрытие (понятие, определяющее смежность вершин диаграммы Хассе некоторого частично-упорядоченного множества). Если X - множество с отношением частичного порядка ≤ , а отношение < на этом множестве задается следующим образом : a<b, если a≤b и а ≠ b, то элемент y покрывает элемент x и пишется xy, если а) x<y

б) не существует такого элемента z, что

x<z<y. Если ab, то вершины a и b диаграммы Хассе данного множества смежные.

В теории типов - подтип (подкласс, дочерний тип(класс)). Часто используется в объектно-ориентированном программировании.

ST значит, что S - подтип T, т.е. все элементы S являются элементами типа Т, и их объединяет какое-то общее свойство.

Например, КругиФигуры.

ST значит, что любой элемент типа S можно использовать в том месте, где ожидается использование элемента типа T, и при этом не возникнет ошибки.

Эрмитово-сопряженная (комплексно-сопряженная) матрица. A† - матрица, полученная из матрицы A транспонированием и заменой каждого элемента матрицы A комплексно-сопряженным ему. Чаще всего такая матрица обозначается A*, а также встречаются обозначения A*T, AT*, , .

Транспонирование матрицы. AT - матрица, в которой в качестве строк записаны столбцы матрицы А.

Другими словами, если А=(aij), то AT=(aji)

• Наибольший элемент решетки - в теории порядка

- наибольший (верхний )элемент решетки.

• Высший (универсальный) тип в теории типов.

- тип, который содержит в себе каждый возможный объект в данной системе типов.

• Перпендикуляр - в геометрии

x⊥y значит, что векторы (прямые) x и y перпендикулярны, или, в более общем случае, ортогональны.

• Ортогональное дополнение подпространства - в линейной алгебре

Если W - подпространство предгильбертового пространства V, то W⊥ - ортогональное дополнение подпространства W, т.е. множество векторов пространства V, перпендикулярных каждому из векторов подпространства W.

• Взаимно простые числа - в теории чисел

a⊥b значит, что наибольший общий делитель чисел a и b равен единице. Часто записывается как (a, b)=1

• Независимость случайных событий - в теории вероятностей

A⊥B значит, что случайные события A и B независимы, т.е. наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

• Наименьший (нижний) элемент решетки - в теории порядка

⊥ - наименьший (нижний) элемент решетки

• Нижайший тип (универсальный подтип) - в теории типов

⊥ - тип, у которого нет подтипов

• Сравнимость - в теории порядка

x⊥y значит, что элементы x и y частично упорядоченного множества сравнимы, т.е. про них известно, что x≤y или y≤x

Импликация (логическое следование) - в теории моделей A B значит, что из А следует B, или A влечет B. В любой модели, где A B, если А верно, то и B верно.

Вывод - в логике высказываний (предикатов). A B значит, что B выводится из A.

Тензорное произведение (модулей) - в линейной алгебре. Если A и B - линейные пространства, то

A B - их тензорное произведение, тоже линейное пространство Если аA и bB, то

ab - их тензорное произведение, и

Если A и B - модули над коммутативным кольцом R, то A R B - их тензорное произведение, тоже модуль над кольцом R

• Умножение

ab - произведение a и b

• Свертка функций - в функциональном анализе

где f, g - функции, определенные и интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве Rd

• Сопряжение комплексных чисел

z* - число, комплексно-сопряженное к z.

Если z=a+bi, то z*=a-bi

• Группа единиц (обратимых элементов) кольца

R* - группа обратимых элементов кольца R

• Гипердействительные числа

R* - расширение множества R действительных чисел, в котором каждый элемент представляется в виде суммы действительного числа и бесконечно малой добавки, бесконечно малые величины в котором являются величинами постоянными. В R* входят также бесконечно большие числа.

Вместо R можно использовать также другие множества, например, N*.

• Звезда Ходжа

Линейный оператор из пространства p-векторов в пространства (n-p)-форм. Если вектор v - поливектор степени p, то *v - дифференциальная форма степени n-p.

• Среднее значение - в статистике

- среднее значение величин xi

• Сопряжение комплексных чисел

- число, комплексно-сопряженное к x. Если x=a+bi, то =a-bi

• Алгебраическое замыкание - в алгебре

- алгебраическое замыкание поля T, т.е. алгебраически замкнутое расширение поля T. Поле называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен ненулевой степени над этим полем имеет хотя бы 1 корень.

• Топологическое замыкание - в геометрии (топологии)

Если S - некоторое подмножество топологического пространства, то - топологическое замыкание подмножества S, т.е. пересечение всех замкнутых надмножеств подмножества S.